등비수열 합 공식 : 유도과정, 예제, 활용방법

등비수열 합 공식 : 유도과정, 예제, 활용방법 | 오늘은 수학의 중요한 개념 중 하나인 등비수열의 합 공식에 대해 알아보겠습니다. 등비수열은 고등학교 수학에서 자주 다루는 주제로 수능과 내신 시험에도 자주 출제되는 중요한 내용입니다.

이번 글번 글에서는 등비수열의 합 공식을 자세히 살펴보고 실제 문제 풀이에 어떻게 적용되는지 알아보겠습니다.

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등비수열이란?

등비수열은 연속된 두 항의 비가 일정한 수열을 말합니다.

이때 이 일정한 비율을 ‘공비‘라고 부릅니다. 예를 들어 2, 6, 18, 54, 162…와 같은 수열은 각 항이 이전 항에 3을 곱한 형태로 이루어져 있어 공비가 3인 등비수열입니다.

등비수열의 일반항은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

an = a1 * r^(n-1)여기서 a1은 첫 번째 항, r은 공비, n은 항의 순서를 나타냅니다.

등비수열 합 공식

등비수열의 합을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

Sn = a1 * (1 – r^n) / (1 – r) (r ≠ 1일 때)
Sn = n * a1 (r = 1일 때) 여기서 Sn은 n개 항의 합, a1은 첫 번째 항, r은 공비, n은 항의 개수를 나타냅니다.이 공식은 등비수열의 합을 빠르고 정확하게 계산할 수 있게 해줍니다. 특히 항의 개수가 많을 때 유용합니다.

등비수열 합 공식 유도 과정

등비수열의 합 공식의 유도 과정을 살펴보면 공식의 의미를 더 잘 이해할 수 있습니다.

1. 먼저 n개 항의 합을 Sn이라고 합시다.
   Sn = a1 + a1r + a1r^2 + … + a1r^(n-1)
2. 양변에 r을 곱합니다.
   rSn = a1r + a1r^2 + a1r^3 + … + a1r^n
3. (2)에서 (1)을 빼면:
   Sn – rSn = a1 – a1r^n
4. 좌변을 정리하면:
   Sn(1 – r) = a1(1 – r^n)
5. 양변을 (1-r)로 나누면 최종 공식이 나옵니다:
   Sn = a1(1 – r^n) / (1 – r)

이렇게 유도된 공식을 이용하면 등비수열의 합을 쉽게 구할 수 있습니다.

등비수열 합 공식 적용 예제

이제 실제 문제에 등비수열의 합 공식을 적용해보겠습니다.

예제 1:
첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 첫째항부터 제10항까지의 합을 구하세요.

풀이
a1 = 2, r = 3, n = 10 입니다.

공식에 대입하면
S10 = 2 * (1 – 3^10) / (1 – 3)
= 2 * (1 – 59049) / (-2)
= 2 * 59048 / 2
= 59048따라서 합은 59048입니다.

예제 2:
첫째항이 5이고 공비가 1/2인 등비수열의 첫째항부터 제8항까지의 합을 구하세요.

풀이
a1 = 5, r = 1/2, n = 8 입니다.

공식에 대입하면
S8 = 5 * (1 – (1/2)^8) / (1 – 1/2)
= 5 * (1 – 1/256) / (1/2)
= 5 * (255/256) * 2
= 9.9609375따라서 합은 약 9.96입니다.

무한등비급수 합

등비수열의 항 수가 무한대로 갈 때, 이를 무한등비급수라고 합니다. 무한등비급수의 합은 공비 r의 절댓값이 1보다 작을 때만 존재하며 그 합은 다음과 같습니다.

S∞ = a1 / (1 – r) (|r| < 1일 때)

이 공식을 이용하면 무한히 계속되는 등비수열의 합도 구할 수 있습니다.

예제 3:
첫째항이 4이고 공비가 1/3인 무한등비급수의 합을 구하세요.풀이:
a1 = 4, r = 1/3 입니다.
|r| = |1/3| < 1 이므로 합이 존재합니다.

공식에 대입하면
S∞ = 4 / (1 – 1/3)
= 4 / (2/3)
= 6따라서 무한등비급수의 합은 6입니다.

등비수열 합 공식의 활용

등비수열의 합 공식은 수학 문제 풀이뿐만 아니라 실생활에서도 다양하게 활용됩니다.

1. 복리 이자 계산: 은행에 돈을 저축할 때 이자가 원금에 더해져 다시 이자를 낳는 복리 상황은 등비수열로 모델링할 수 있습니다.
2. 인구 증가 모델: 일정한 비율로 증가하는 인구 모델을 등비수열로 표현할 수 있습니다.
3. 반감기 계산: 방사성 물질의 양이 일정 비율로 감소하는 현상을 등비수열로 나타낼 수 있습니다.
4. 경제 성장률 예측: 일정한 비율로 성장하는 경제 모델을 등비수열로 표현할 수 있습니다.

이처럼 등비수열의 합 공식은 다양한 분야에서 활용되고 있어 그 중요성이 매우 큽니다.

등비수열 합 공식 관련 주의사항

등비수열 합 공식을 사용할 때 주의해야 할 점들이 있습니다.

1. 공비 r이 1인 경우: 이때는 일반 공식을 사용할 수 없고 Sn = n * a1 공식을 사용해야 합니다.
2. 무한등비급수의 경우: |r| ≥ 1이면 합이 발산하므로 주의해야 합니다.
3. 계산 오류: 큰 수를 다룰 때 계산기 사용 시 반올림 오차에 주의해야 합니다.
4. 문제 해석: 문제에서 주어진 정보가 첫째항(a1)인지 아니면 다른 항인지 잘 파악해야 합니다.

등비수열 합 공식 연습 문제

이제 몇 가지 연습 문제를 통해 등비수열 합 공식을 적용해보겠습니다.

문제 1:
첫째항이 3이고 공비가 2인 등비수열의 첫째항부터 제7항까지의 합을 구하세요.

문제 2:
첫째항이 10이고 공비가 0.5인 등비수열의 첫째항부터 제6항까지의 합을 구하세요.

문제 3:
첫째항이 1이고 공비가 1/4인 무한등비급수의 합을 구하세요.

답은 포스팅 하단에서 확인하실 수 있습니다. 한 번 풀어보신 후 답을 확인하시기 바랍니다.

등비수열 합 공식 관련 오개념

등비수열 합 공식을 학습하면서 흔히 발생하는 오개념들이 있습니다:

1. 등차수열과 혼동: 등비수열은 곱하는 수가 일정한 반면, 등차수열은 더하는 수가 일정합니다.
2. 공비와 공차 혼동: 등비수열의 공비는 곱하는 수이고 등차수열의 공차는 더하는 수입니다.
3. 무한등비급수의 수렴 조건 오해: |r| < 1일 때만 수렴한다는 점을 주의해야 합니다.
4. 첫째항과 다른 항 혼동: 공식에서 a1은 반드시 첫째항이어야 합니다.

이러한 오개념들을 잘 이해하고 주의한다면 등비수열 합 공식을 더 정확하게 사용할 수 있습니다.

등비수열 합 공식 마무리

등비수열 합 공식은 수학에서 매우 중요한 개념입니다. 이 공식을 잘 이해하고 활용할 수 있다면 다양한 수학 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다.

실생활의 여러 현상을 모델링하고 분석하는 데에도 유용하게 사용될 수 있습니다.

등비수열 합 공식을 마스터하기 위해서는 꾸준한 연습이 필요합니다. 다양한 유형의 문제를 풀어보면서 공식의 적용 방법을 익히고 실수하기 쉬운 부분들을 주의깊게 살펴보시기 바랍니다. 등비수열과 관련된 문제를 자신있게 해결할 수 있게 될 것입니다.

수학은 단순히 공식을 암기하는 것이 아니라 그 원리를 이해하는 것이 중요합니다. 등비수열 합 공식의 유도 과정을 이해하고 왜 그러한 결과가 나오는지 생각해보는 것도 좋은 학습 방법입니다.

이상으로 등비수열 합 공식에 대한 포스팅을 마치겠습니다. 여러분의 수학 공부에 도움이 되었기를 바랍니다!

연습 문제 답:

1. 381
2. 19.6875
3. 4/3

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