등차수열 합 공식 : 유도과정, 예제, 활용방법 | 수학의 기본 개념 중 하나인 등차수열 합 공식에 대해 알아보겠습니다. 등차수열은 일상생활에서도 자주 접할 수 있는 개념이므로 이해하고 나면 여러 상황에 적용할 수 있을 것입니다.
그럼 지금부터 등차수열 합 공식에 대해 자세히 살펴보겠습니다.
등차수열이란?
등차수열은 연속된 두 항의 차이가 일정한 수열을 말합니다. 예를 들어 2, 4, 6, 8, 10… 과 같이 매번 2씩 증가하는 수열이 등차수열입니다. 이때 두 항의 차이를 ‘공차‘라고 부릅니다.
등차수열의 일반항은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
an = a1 + (n-1)d
여기서 a1은 첫 번째 항, n은 항의 순서, d는 공차를 나타냅니다.
등차수열 합 공식
등차수열의 합을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
Sn = n(a1 + an) / 2
여기서 Sn은 n번째 항까지의 합, a1은 첫 번째 항, an은 n번째 항을 나타냅니다.
이 공식은 가우스가 어린 시절에 발견했다고 알려진 유명한 일화가 있습니다. 1부터 100까지의 자연수를 더하라는 선생님의 과제에 가우스는 순식간에 답을 제출했다고 합니다.
그가 사용한 방법이 바로 이 등차수열의 합 공식이었습니다.
등차수열 합공식 유도 과정
등차수열 합공식을 어떻게 유도하는지 알아보겠습니다.
- 먼저 등차수열의 합을 순서대로 나열합니다.
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an - 같은 식을 역순으로 나열합니다.
Sn = an + an-1 + an-2 + … + a2 + a1 - 위의 두 식을 더합니다.
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an-1 + a2) + (an + a1) - 괄호 안의 값들은 모두 (a1 + an)과 같습니다. 그리고 이런 괄호가 n개 있습니다.
2Sn = n(a1 + an) - 양변을 2로 나누면 최종적인 등차수열 합 공식이 도출됩니다.
Sn = n(a1 + an) / 2
등차수열합 공식 활용 예제
등차수열합 공식을 실제로 어떻게 활용하는지 예제를 통해 알아보겠습니다.
예제 1: 1부터 100까지의 자연수의 합
1부터 100까지의 자연수는 공차가 1인 등차수열입니다.
- a1 = 1 (첫 번째 항)
- an = 100 (마지막 항)
- n = 100 (항의 개수)
등차수열합 공식에 대입하면
S100 = 100(1 + 100) / 2 = 100 × 101 / 2 = 5050
따라서 1부터 100까지의 자연수의 합은 5050입니다.
예제 2: 2의 배수의 합
2부터 시작해서 2씩 증가하는 수열의 10번째 항까지의 합을 구해봅시다.
- a1 = 2 (첫 번째 항)
- d = 2 (공차)
- n = 10 (항의 개수)
먼저 10번째 항(a10)을 구해야 합니다.
a10 = a1 + (n-1)d = 2 + (10-1)2 = 2 + 18 = 20
이제 등차수열합 공식에 대입하면
S10 = 10(2 + 20) / 2 = 10 × 22 / 2 = 110
따라서 2의 배수 10개의 합은 110입니다.
등차수열 합공식의 실생활 응용
등차수열의 합 공식은 실생활에서도 다양하게 활용됩니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
1. 저축 계획
매월 일정 금액씩 저축을 늘려나가는 경우, 등차수열의 합 공식을 이용해 총 저축액을 계산할 수 있습니다.
예를 들어 첫 달에 10만원을 저축하고 매월 5만원씩 늘려나간다면 1년 후의 총 저축액은 얼마일까요?
- a1 = 10만원 (첫 달 저축액)
- d = 5만원 (매월 증가액)
- n = 12 (12개월)
a12 = 10 + (12-1)5 = 10 + 55 = 65만원
S12 = 12(10 + 65) / 2 = 12 × 75 / 2 = 450만원
따라서 1년 후의 총 저축액은 450만원입니다.
2. 건물 층수에 따른 계단 수
건물의 층수가 올라갈수록 계단의 수가 일정하게 증가한다고 가정해봅시다. 1층에서 2층으로 올라가는 계단이 20개이고, 매 층마다 2개씩 계단이 늘어난다면 1층에서 10층까지 오르는데 필요한 총 계단 수는 몇 개일까요?
- a1 = 20 (1층에서 2층으로 가는 계단 수)
- d = 2 (매 층 증가하는 계단 수)
- n = 9 (1층에서 10층까지는 9번의 층간 이동)
a9 = 20 + (9-1)2 = 20 + 16 = 36S9 = 9(20 + 36) / 2 = 9 × 56 / 2 = 252따라서 1층에서 10층까지 오르는데 필요한 총 계단 수는 252개입니다.
등차수열합 공식의 주의점
등차수열합 공식을 사용할 때 주의해야 할 점들이 있습니다.
- 첫 번째 항과 마지막 항을 정확히 파악해야 합니다. 문제에서 주어진 정보를 잘 확인하세요.
- 항의 개수(n)를 정확히 계산해야 합니다. 특히 시작 번호가 1이 아닌 경우 주의가 필요합니다.
- 공차가 음수인 경우도 있습니다. 이 경우 수열이 감소하는 형태가 되지만, 공식은 동일하게 적용됩니다.
- 큰 수의 계산에서는 계산기를 사용하는 것이 좋습니다. 특히 n이 큰 경우 계산 과정에서 오류가 발생할 수 있습니다.
등차수열합 공식 관련 연관 검색어
등차수열합 공식과 관련된 연관 검색어들을 살펴보겠습니다:
- 등차수열 일반항
- 등비수열 합 공식
- 수열의 극한
- 시그마 표기법
- 가우스 덧셈 공식
- 수열의 수렴과 발산
- 수학적 귀납법
- 피보나치 수열
이러한 개념들은 등차수열합 공식을 더 깊이 이해하고 응용하는 데 도움이 될 수 있습니다.
등차수열 합 공식 마무리
지금까지 등차수열의 합 공식에 대해 자세히 알아보았습니다. 등차수열합 공식은 단순해 보이지만 실생활의 다양한 상황에서 활용될 수 있는 유용한 도구입니다.
이 공식을 잘 이해하고 활용한다면 복잡해 보이는 계산도 쉽게 해결할 수 있을 것입니다.
수학은 때로 어렵고 복잡하게 느껴질 수 있지만 이렇게 하나씩 개념을 이해하고 적용해 나가다 보면 점점 더 재미있어질 것이라 생각됩니다.
여러분도 등차수열합 공식을 활용해 볼 수 있는 상황을 주변에서 찾아보시기 바랍니다.
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